L’hypothèse du continu

Certainement l’une des plus belles conjectures des mathématiques, l’hypothèse du continu constitue un défi à l’entendement humain. Formulé par Cantor, elle énonce l’égalité entre ℵ_c et ℵ₁. Essayons de voir ce que cela veut dire.

Présentation de l’hypothèse du continu
La théorie des ensembles, dont les fondements sont l’œuvre de Greg Cantor, considère l’existence d’ensembles pouvant contenir une infinité d’éléments, comme les exemples particuliers que sont N, Q et R. Une des caractéristique essentielle de tout ensemble, est l’existence d’un cardinal qui lui est rattaché. Le cardinal d’un ensemble est défini comme le nombre d’éléments que cet ensemble contient. Par exemple, l’ensemble des entiers de 1 à 10 a pour cardinal 10. Si la notion de cardinal est simple concernant les ensembles finis, elle se laisse plus difficilement apprivoiser dans le cas d’ensembles plus grands que tout ensemble fini, c’est à dire possédant une infinité d’éléments.

Les travaux de Greg Cantor apportent les outils nécessaires pour maitriser de tels ensembles. Il démontre notamment que :
- Deux ensembles équipotents ont même cardinal. Ainsi, si à tout élément d’un ensemble A, je peux associer un élément d’un ensemble B, et réciproquement, alors A et B ont même cardinal.
- Le cardinal de l’ensemble des parties d’un ensemble E, est strictement supérieur au cardinal de E. Ce résultat évident concernant les ensembles finis, ne l’était pas forcement pour ce qui est des ensembles infinis. On aurait pu par exemple penser que tout ensemble infini était équipotent à tout autre ensemble infini, et avait donc même cardinal comme cela peut être le cas entre N et Q. Ceci est faux, et Card{P(E)} > Card{E}.
- Le cardinal de l’ensemble des réels R est identique à celui de l’ensemble des parties de l’ensemble des entiers N.

Un des résultats les plus célèbre de Cantor, est la démonstration du caractère indénombrable de l’ensemble des réels R. L’adjectif indénombrable est couramment utilisé pour signifier qu’un ensemble, ici R, ne peut pas être dénombré par l’ensemble des entiers naturel, ou tout autre ensemble dénombrable. Autrement dit, un ensemble est indénombrable si aucune correspondance biunivoque ne peut être établie entre cet ensemble, et l’ensemble ou une partie des entiers naturels, donc si son cardinal est supérieur au cardinal de N. Il va de soit que ceci est évident à la vue des résultats présentés au dessus. En effet, si Card{R} = Card{P(N)}, puisque Card{P(N)} est nécessairement supérieur à Card{N}, alors Card{R} est supérieur à Card{N}. Mais la démonstration initialement utilisé par Cantor est particulièrement intéressante, du fait qu’elle constitue le premier usage de l’argument diagonal qui sera ensuite reprit sous diverses formes par Russell, Gödel ou Turing.

Pour présenter brièvement l’argument diagonal, il nous suffit de considérer une liste infini de nombres entre 0 et 1. La question étant, cette liste peut-elle contenir tout les réels ? La réponse étant évidement non.
En effet, raisonnons par l’absurde, et supposons que oui. Notons A(n) le n-iéme nombre, et Φn(m) la m-iéme décimale de A(n). Soit β le nombre dont la n-iéme décimale soit égale à 1 – Φn(n). Si ce nombre était dans la liste il existerait un entier K tel que quel que soit n, 1 – Φn(n) = Φk(n). En prenant n = K, on obtient 1 = 2Φk(K), donc 1 est un nombre pair. Ce qui est absurde. Donc ce nombre ne peut être dans la liste.

Nous savons donc à ce stade, qu’il existe des cardinaux finis (1, 2, 3, 4, …) et des cardinaux infinis, puisque Card{P(E)} > Card{E}, même pour des ensembles infinis. On considère alors l’ensemble des cardinaux infinis. On nomme ℵ₀ (prononcer aleph-zero) le premier d’entre eux, ℵ₁ le second, et ainsi de suite. On associe a N le cardinal ℵ₀.

P(N) ou R, on un cardinal infini, supérieur à celui de N, donc supérieur à ℵ₀, on note à ce stade ℵ_c le cardinal de R, ℵ_c étant nommé le cardinal du continu. Tout le problème se pose alors de savoir ou se situe ℵ_c dans l’échelle des cardinaux infinis.

Intuitivement, il est tentant de croire que ℵ_c = ℵ₁, ℵ_c étant le cardinal de l’ensemble de parties de N, c’est le premier cardinal infini supérieur à Card{N} qu’on rencontre et qu’on connaisse. Et cette égalité, est connue sous le nom d’hypothèse du continu. Pourtant, rien n’indique objectivement que cette intuition soit la bonne. En effet, rien ne prouve qu’il n’existe pas de cardinaux intermédiaire pouvant être associer à des ensembles compris entre N et P(N), comme cela est déjà le cas pour les cardinaux finis. Soit E(3) un ensemble de cardinal 3, Card{P(E(3))} = 2 puissance 3, soit 8, et non 4.

La question de l’égalité entre ℵ_c et ℵ₁ constitue l’hypothèse du continu. Mais à ce stade rien n’indique la non existence d’ensembles de cardinaux intermédiaires entre N et P(N).

Statut de la conjecture
Si l’hypothèse du continu n’a pas grand intérêt pratique, elle se place néanmoins au cœur des fondements même de la théorie usuelle des ensembles, socle des mathématiques modernes, à tel point qu’un des plus grand mathématiciens de l’histoire, Hilbert, a qui on doit notamment des espaces vectoriels particuliers qui portent son nom, ou la première formulation de l’équation d’Einstein en relativité générale, quand il dressa une liste des principaux problèmes mathématiques de son époque, parmi lesquels la conjecture de Riemann, ou le problème de la décision, plaça l’hypothèse du continu en première position.

Aujourd’hui, beaucoup considèrent ce problème comme résolu. En effet, Gödel d’une part, et Cohen, ont démontrés l’indépendance de l’hypothèse du continu vis-à-vis de la théorie des ensemble. Autrement dit, l’hypothèse du continu est un indécidable de ZFC, elle n’est pas démontrable en utilisant les axiomes admis de la théorie des ensembles.

Mais l’histoire s’arrête-t-elle à ce point ?
Gödel le premier pensait que non. En effet, les termes de la notion d’ensemble sont déterminés à l’origine, avant même que les axiomes ne soient posés. Les axiomes restreignent le champs de la notion d’ensemble, et dans l’absolu l’hypothèse du continu est nécessairement vrai ou fausse. Un parallèle avec le théorème de Gödel est facile. Dans ce dernier, Gödel exhibe une proposition qui affirme sa non décidabilité, et s’il est vrai qu’un indécidable de Gödel est non démontrable dans le système axiomatique considéré, il n’en est pas moins vrai en dehors. La proposition : je suis indécidable est vrai hors du système considéré.

Conclusion
Nous venons ici de jeter un premier regard sur la beauté de cette entité mathématique qu’est l’univers des réels. Je reviendrais probablement dans un autre article préciser le fonctionnement précis de l’argument diagonal qui mérite un développement plus important que le petit encart que je lui ai réservé. Si j’ai le temps, je préciserais également plusieurs choses sur ces mystérieux alephs.

Tonnerre sous les tropiques

Synopis
Un casting d’enfer pour un voyage… au bout de l’enfer ! En tête d’affiche : Tugg Speedman, la star du film d’action, en chute libre depuis ses trois derniers navets. A ses côtés : Jeff Portnoy, spécialiste des comédies (très) bas de gamme, avide de prouver ses qualités de comédien ; Kirk Lazarus, acteur “Méthode” multi-recompensé et 100 % givré ; Chino, superstar pop et fan d’Al Pacino ; et Kevin Sandusky, le fringant petit jeune tout heureux de faire partie de la bande. Cinq egos surdimensionnés au service du “plus grand film de guerre de tous les temps”. Sur le papier, ça se tient (ou presque), mais sur le tournage tout dérape : les caprices des stars et l’incapacité du réalisateur, Damien Cockburn, font grimper les frais à une allure vertigineuse, au point que le studio décide de tout arrêter… C’est alors que Damien a l’idée “géniale” d’entraîner sa petite troupe au coeur du Triangle d’Or pour une expérience de “cinéma-vérité” d’un genre inédit. Mortel…

Mon avis
Amateur d’humour subtil passez votre chemin. Si ce n’est certainement pas le film de l’année, tonnerre sous les tropiques tient au moins ses promesses : nous faire rire. Les acteurs sont excellents, notamment Ben Stiller, et un Tom Cruise méconnaissable.

Asseyez vous, poser votre cerveau sur vos genoux, vous devriez passer un bon moment.

Le code d’android est disponible

Android, la plateforme Google pour applications mobile est libre. Google vient de rendre son projet open source en plaçant le code sous licence Apache.

Vous trouverez toutes les infos ici :
http://source.android.com

L’annonce a été faite le 21 Octobre, soit la veille du lancement du G1 d’HTC, plus souvent appelé le Google Phone, ou GPhone, premier mobile à embarquer la plateforme Android.

La date de sortie du Gphone en France n’est pas connue à l’heure actuelle.

Je le trouve plus beau en blanc.

Le nouveau Google Analytics

Si vous aimiez Google Analytics, vous devriez l’aimer encore plus. Si vous ne l’aimiez pas, vous devriez quand même l’adorer. Google vient en effet de présenter à Washington la dernière version de son outil d’analytique, et les améliorations apportés devraient ravir les plus exigeant d’entre vous.

Au programme :

De vrais possibilités de segmentation : si la segmentation des informations trafic était une des faiblesses de l’outil, la version trois corrige amplement le tir. Le croisement des données pour des statistiques toujours plus fine devient enfin possible, et facile comme un jeu d’enfant.

l’API Google analytics est la. Enfin ! Si vous trouvez que des fonctionnalités manquent, vous n’aurez plus qu’à rapatrier les données qui vous intéressent en trois ligne de code et les traiter vous même.

Voici les deux améliorations qui m’importaient le plus, mais c’est sans compter la génération de rapports sur mesure, les graphiques animées, ou l’intégration d’Adsense qui rendent l’outil plus encore qu’avant : incontournable. Si Google Analytics avait peu à envier à ses concurrents payants, cette nouvelle monture constitue une fois de plus un grand pas en avant.

Facebook - Nouveau concours

Facebook vient de lancer un concours de dév d’applications pour ses utilisateurs français. En résumé, les trois meilleures œuvres gagneront respectivement 5000, 3000, et 2000€.

Les applications candidates doivent leur êtres soumises avant le 31 Janvier.

C’était juste pour relayer l’info.
Par contre faut avouer que le logo est pas terrible.

Le nouveau Yahoo Web Analytics

Faisant suite au rachat d’IndexTools il y a quelques mois, Yahoo vient d’annoncer les lancement de Yahoo Web Analytics qui viendra directement concurrencer des solutions comme Google Analytics, Microsoft Adcenter Analytics ou encore Xiti.

Ce produit, dont le déploiement devrait se faire en douceur, en commençant par les clients de Yahoo Merchant Solution, devrait à terme être disponible pour tous, et gratuit. Normalement avant les fêtes de fin d’année.

Un beau Noël en perspective.

Plus d’infos :
http://web.analytics.yahoo.com/

Des flux RSS sur Google

Google vient de l’annoncer : des flux RSS de résultats seront bientôt mis à disposition des utilisateurs.

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S’il n’ont pour le moment pas donnés de date, nous savons que Google, comme le font déjà Live et Yahoo, va proposer des flux RSS de ses pages de résultats.

On imagine l’intérêt pour les développeurs d’outils de veille, ou de positionnement, qui n’auront plus à parser les flux de résultats en HTML comme c’est souvent le cas aujourd’hui.

Chez Presse Agrume, on attend avec impatience.

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Changez le monde avec Google

Bien que la news ne soit pas des plus fraîches, je ne pouvais passer à côté du projet 10¹⁰⁰ de Google.

Plus parlant que la vidéo vous trouverez tous les détails ici :
http://www.project10tothe100.com/intl/FR/index.html

Google ne dit pas encore Yahoo !

Google et Yahoo repoussent une fois encore l’application de leur accord le temps de laisser au Département de la justice américain le soin d’en déclarer ou non la conformité.

Tous les observateurs restent donc encore dans l’attente de l’avis de DoJ dont l’avis pèsera fort sur l’avenir de la société de Jerry Yang.

Apple et la santé de Steve Jobs

Il aura suffit d’un article publié sur iReport de CNN (Journal citoyen du célèbre média), pour que le cour de l’action Apple chute de 10 points en quelques minutes.

Cette information faisait état du malaise cardiaque de Steve Jobs, le CEO d’Apple.

Ce n’est pas la première fois que les médias publient de fausses informations sur sa santé. Déjà en Aout, Bloomberg avait par erreur mis en ligne sa nécrologie. On peut s’inquiéter que le cour d’une action, soit autant lié à la forme physique d’un seul homme, aussi charismatique et talentueux soit-il.

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